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窗函数

窗函数

窗函数,英文Window Function,是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数,主要应用在频谱分析、波束形成、滤波器设计等信号处理中。现代数字信号处理的主要工具是傅里叶变换,而快速傅里叶变换假定时间信号是周期无限的。在实际工程测试处理时不可能对无限长的信号进行测量和运算,,往往只截取有限的时间片段进行分析,当无限长的信号被截断后,其频谱发生了畸变,出现频谱能量泄漏状况,而为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,这种截断函数即称之为窗函数,简称为窗。

典型的窗函数

实际应用的窗函数,基本可以分为如下几个类型:

1、幂窗函数

采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其他时间(t)的高次幂的窗函数

(1) 矩形窗Rectangular Window

矩形窗是一种最简单的窗函数,属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣,导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象。

矩形窗计算公式如下:

\omega (n) = {R_M}(n) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {1,0 \le n \le M - 1;}\\ {0,Other} \end{array}} \right.

(2) 三角窗 (或巴特利特 Bartlett 窗)

三角窗是幂窗的一次方形式,是由Bartlett提出的一种逐渐过渡的三角窗形式。与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣。

三角窗计算公式如下:

\omega (n) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{2n}}{M},n = 0,1,...,\frac{M}{2}}\\ {\omega (M - n),n = \frac{M}{2},...,M - 1} \end{array}} \right.

2. 三角函数窗

应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合而成的复合函数窗,例如汉宁窗、哈明窗等

(1) 汉宁窗Hanning Window

汉宁窗又称升余弦窗,汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和,或者说是 3个 sinc(t)。

汉宁窗计算公式如下:

\omega (n) = 0.5\left[ {1 - \cos (\frac{{2\pi n}}{{M + 1}})} \right],1 \le n \le M

(2)哈明窗Hamming Window

型函数之和,而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T,从而使旁瓣互相抵消,消去高频干扰和漏能。可以看出,汉宁窗主瓣加宽并降低,旁瓣则显著减小,从减小泄漏观点出发,汉宁窗优于矩形窗.但汉宁窗主瓣加宽,相当于分析带宽加宽,频率分辨力下降。

哈明窗计算公式如下:

\omega (n) = \left[ {0.42 - 0.5\cos (\frac{{2\pi n}}{{M - 1}}) + 0.08\cos (\frac{{4\pi n}}{{M - 1}})} \right]{R_M}(n)

3. 指数窗

采用指数时间函数的窗函数,如高斯窗等

高斯窗Gaussian window

高斯窗是一种指数窗。高斯窗谱无负的旁瓣,第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽,故而频率分辨力低.高斯窗函数常被用来截短一些非周期信号,如指数衰减信号等。

高斯窗计算公式如下:

\omega (n) = {e^{ - \frac{1}{2}{{(\frac{{n - (M - 1\_/2}}{{\sigma (N - 1)/2}})}^2}}}

除此此外,还有Papoulis窗、Parzen窗、Poisson窗、Cauchy窗、Bartlett-Hann、Blackman-Harris 、 Nuttall’s Blackman-Harris 、 Bohman 、 Flat Top window 、 Hann 、 Parzen (de la Valle-Poussin ) 、 Tapered cosine 等等。

Window functions

窗函数的选择

上图所示为常见的几种窗函数的 时域和频域波形。对于窗函数的选择,应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率,而不考虑幅值精度,则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗,例如测量物体的自振频率等;如果分析窄带信号,且有较强的干扰噪声,则应选用旁瓣幅度小的窗函数,如汉宁窗、三角窗等;对于随时间按指数衰减的函数,可采用指数窗来提高信噪比。

参考:

  • 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function
  • 2. http://baike.baidu.com/view/2327611.htm
  • 3. http://netclass.csu.edu.cn/NCourse/hep028/java_hls/gccs/windowf.htm
  • 4. http://jpkc.jwc.bupt.cn:4213/szxhcl/course/cbook/%E7%AC%AC%E4%BA%94%E7%AB%A0/5_2_4.html

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